[页面内容增强] 重构高斯消元部分

高斯消元部分已经跟不上时代了，需要重构一下，感觉需要包含下面这些基础的内容。

1. 用高斯消元将元素为域（或欧几里得整环）上的矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ 转换为行阶梯形 (row echelon form, https://mathworld.wolfram.com/RowEchelonForm.html)。
2. 用高斯-若尔当消元将域上的矩阵 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ 转换为行最简形 (reduced row echelon form, https://mathworld.wolfram.com/ReducedRowEchelonForm.html)。
3. 给出 $A \in \mathbb{F}^{m \times n}, b \in \mathbb{F}^{m \times 1}$，求出 $x \in \mathbb{F}^{n \times 1}$ 满足 $Ax = b$，其中 $x = x_0 + \mathrm{ker}(A)$，这里 $\mathrm{ker}$ 为 right kernel，需要计算出特解 $x_0$ 和 $\mathrm{ker}(A)$ 的基。（还需要判断是否有解）

对于元素在欧几里得整环上面的情况，我们假使想对一列的系数进行消元，例如选择 $\mathrm{row}_r(A)$ 和 $\mathrm{row}_i(A)$，我们用扩展欧几里得算法可以算出

$$ \begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gcd(a, b) \\ 0\end{bmatrix} $$

可以用

$$ (\mathrm{row}_r(A), \mathrm{row}i(A)) \gets (x{11}\mathrm{row}r(A) + x{12}\mathrm{row}i(A), x{21}\mathrm{row}r(A) + x{22}\mathrm{row}_i(A) ) $$

这也是我们计算 $A \in Z_\ell^{n\times n}$ 的行列式的方法。

第三个也等价于求解 $vA^{\intercal} = w$，可以直接用 reduced row echelon form 解决，但是需要额外记录一个转换矩阵，然后后面若干行就是基。这个转换矩阵在 $A$ 可逆时就是 $A^{-1}$。